Buon 2025!

 Il 2025 si avvicina, e mentre ci interroghiamo su cosa porterà il futuro, scopriamo che è anche un numero particolarmente interessante da un punto di vista matematico.
Innanzitutto, 2025 è un quadrato perfetto. Questo significa che può essere espresso come il quadrato di un intero. Nel caso specifico, è uguale a 45².
E questo non succedeva dal 1936😮, che era il risultato di 442!
Dovremo aspettare il 2116 per avere di nuovo un numero quadrato, in particolare di 462.

Ma la particolarità di 2025 non si ferma qui.
Il 2025 è  il prodotto di due quadrati perfetti, ovvero 92•52, e anche la somma di 3 quadrati perfetti: 402+202+52.

Un'altra caratteristica affascinante di 2025 è che può essere espresso come la somma dei cubi dei primi nove numeri naturali: (1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³=2025).

Questa proprietà è legata a un risultato classico della matematica noto come il teorema di Nicomaco, che afferma: la somma dei cubi dei primi numeri interi è uguale al quadrato dell'n-esimo numero triangolare.

Ma cosa significa tutto questo?

Un numero triangolare è un numero che si ottiene sommando i primi numeri naturali. Per esempio, il nono numero triangolare è 45 (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 45). 
I numeri triangolari sono dei numeri figurati (come i numeri quadrati e i polgonali in generale) ovvero possono essere visualizzati in “forma geometrica” infatti si possono disporre a forma di triangolo equilatero o isoscele.

Il primo numero triangolare è 1

secondo numero triangolare: 1+2=3

terzo numero triangolare: 3+3=6

quarto numero triangolare 6+4=10 ecc…

Ogni nuovo triangolo si ottiene aggiungendo al precedente un numero di pallini sempre maggiore di uno.

La sequenza dei numeri triangolari può essere sintetizzata con la formula:  n (n+1)/2, per esempio il nono numero triangolare si ottiene sostituendo a n il numero 9, quindi 9(9+1):2=45. 

Il teorema di Nicomaco ci dice che il quadrato dell’n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei cubi dei primi n numeri naturali, per esempio 

Author: Redazione Ilterzoeinstein con Mathigon

per n=3,

il terzo numero triangolare è 6 dato da 1+2+3,

oppure seguendo la formula, da 3(3+1)/2 

 6²=36

13+ 23+ 33=36

Cmglee, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0>, via Wikimedia Commons

per n= 5

il quinto numero triangolare è 15 dato da 1+2+3+4+5

15²=225 

13+ 23+ 33+ 43+ 53=225

Indovinate cosa accade per n=9 ?!?

Il nono numero triangolare è 45 dato da 1+2+3+4+5+6+7+8+9

45²=2025 

13+ 23+ 33+ 43+ 53+ 63+ 73+ 83+ 93=2025

ed ecco quindi la connessione del nuovo anno con il  teorema di Nicomaco! 😉

Questo intreccio di proprietà matematiche fa di 2025 un numero unico e affascinante, perfetto per celebrare un anno che, siamo sicuri, sarà speciale anche per noi!