IL DILEMMA DEL PRIGIONIERO

La matematica non è fatta solo di formule e calcoli: dietro ogni argomento si nascondono storie, intuizioni e collegamenti sorprendenti. Per questo abbiamo deciso di pubblicare alcuni passaggi particolarmente interessanti dai percorsi d’esame dei nostri compagni delle classi terze, per condividerli con tutti voi.

Invitiamo anche altri studenti che desiderano vedere pubblicato un estratto del proprio percorso a contattare la redazione. La segnalazione può essere effettuata direttamente dallo studente oppure dal docente che ne ha seguito il lavoro. Saremo lieti di valorizzare e condividere ulteriori contributi di interesse matematico.

Cominciamo con il lavoro della nostra "capa" Giorgia Andaloro che si è occupata del "Dilemma del prigioniero", un paradosso della teoria dei giochi. 

Il dilemma del prigioniero è uno dei modelli matematici più conosciuti della teoria dei giochi. 

La teoria dei giochi è una branca della matematica che analizza le situazioni in cui due o più persone devono prendere delle decisioni. Ogni partecipante cerca di ottenere il miglior risultato possibile, ma il successo delle sue scelte dipende anche da ciò che fanno gli altri 

Il dilemma del prigioniero fu ideato nel 1950 dai matematici Merrill Flood e Melvin Dresher, che lavoravano presso la RAND Corporation, un importante centro di ricerca statunitense. Successivamente il matematico Albert W. Tucker rese il problema più semplice da comprendere e gli diede il nome con cui è conosciuto ancora oggi. 

COME FUNZIONA IL DILEMMA DEL PRIGIONIERO? 

Immaginiamo che due persone abbiano commesso un reato e vengano arrestate. I due prigionieri vengono interrogati separatamente e non possono comunicare tra loro. A ciascuno viene proposta la stessa scelta: confessare oppure rimanere in silenzio. 

Le possibili situazioni sono: 

•Se entrambi rimangono in silenzio, ricevono una pena leggera. 

•Se uno confessa e l'altro rimane in silenzio, chi confessa viene liberato mentre l'altro riceve una pena molto pesante. 

•Se entrambi confessano, ricevono una pena intermedia. 

A prima vista potrebbe sembrare conveniente rimanere in silenzio. 

Tuttavia ogni prigioniero pensa: "Se l'altro mi tradisce e io resto in silenzio, sarò quello che riceverà la pena più pesante". Per questo motivo confessare sembra la scelta più sicura. Il problema nasce dal fatto che la scelta migliore per il singolo non coincide con quella migliore per il gruppo. Se entrambi collaborassero rimanendo in silenzio, otterrebbero un risultato migliore. Tuttavia, poiché ognuno pensa al proprio interesse e non può fidarsi completamente dell'altro, spesso entrambi finiscono per confessare, ottenendo una situazione meno vantaggiosa.

Il dilemma del prigioniero è uno degli esempi più interessanti della teoria dei giochi perché mostra che le decisioni non dipendono solo da ciò che vogliamo fare noi, ma anche da ciò che pensiamo faranno gli altri. Grazie a questo modello, i matematici possono studiare la cooperazione, la fiducia e il comportamento umano in molte situazioni diverse.

Uova, lune e calcoli: cosa c’entra la matematica con la Pasqua?

 

Buona Pasqua a tutti! 🐣✨

 Oggi, mentre vi godete una fetta di colomba o cercate di aprire quell’uovo di cioccolato che sembra sigillato con l’attaccatutto  vi svelo una cosa che potrebbe sorprendervi: la Pasqua è una festa matematica. Sì, avete letto bene. Dietro a coniglietti, campane e uova colorate, si nasconde una faccenda bella intricata di numeri, cicli lunari e geometria. 

Quindi, mettete via il cioccolato per un minuto (ok, solo un pezzettino) e venite a scoprire il lato nerd – ma fichissimo – della Pasqua.

Ma quando cade la Pasqua?

Forse vi sarete accorti che Pasqua non ha una data fissa come Natale. Un anno arriva il 4 aprile, un altro il 16, e poi magari il 27 marzo. Ma chi decide? Un algoritmo segreto? I Maya? No, ragazzi, la colpa (o il merito) è tutta della matematica. 😄

La data della Pasqua cristiana si calcola in base a un criterio molto specifico: cade la domenica successiva alla prima luna piena dopo l’equinozio di primavera. Detto così sembra una frase da oroscopo, ma c’è della logica dietro. L’equinozio di primavera è fissato al 21 marzo. Da lì, si guarda la prima luna piena, e la domenica dopo quella luna è Pasqua.

E per sapere quando ci sarà la luna piena? Ci vogliono i calcoli astronomici, ovviamente. Cioè: matematica, cicli lunari, equazioni. Roba da calendario lunare, ma con più algebra. E per questo, nel Medioevo, ci si affidava ai monaci... che erano tipo i programmatori dell’epoca, solo con le tuniche e meno caffè.

Matematica antica e calendari

Già nel 325 d.C., al Concilio di Nicea, si decise di usare un metodo matematico per calcolare la Pasqua. Questo metodo si chiama computus (che già suona come un incantesimo di Harry Potter) e mette insieme il calendario solare con quello lunare. Insomma, è come far convivere due coinquilini completamente diversi… e riuscirci! 😅

Il computus usa cicli di 19 anni (detti cicli metonici) per far combaciare il Sole e la Luna. È come un gigantesco puzzle temporale dove tutto torna… più o meno ogni vent’anni. E questo è solo l’inizio: se volete un assaggio di algebra medievale, vi sfido a cercare la "formula di Gauss per calcolare la Pasqua". Non vi rovino la sorpresa, ma sappiate che coinvolge divisioni, arrotondamenti e qualche mal di testa.

L’uovo e la sua forma… matematica!

E l’uovo? Oltre ad essere la star delle sorprese pasquali (soprattutto se contiene una penna glitterata o dei soldi), l’uovo ha una forma affascinante: l’ovoide. È un solido che non è né una sfera né un’ellisse perfetta, ma qualcosa di più complicato.

I matematici l’hanno studiato per secoli, cercando di descrivere con equazioni la curva di un uovo vero. Ed è difficilissimo! Esistono modelli diversi – da quelli più semplici, come l’ellissoide allungato, fino a formule iper-tecniche con funzioni trigonometriche. Ma il bello è proprio lì: dietro un oggetto semplice e quotidiano, si nasconde un mondo di numeri e simmetrie imperfette. Un po’ come noi, no?

Elettra Carrozza

Laboratorio di matematica: Roger Penrose

 Roger Penrose è nato Colchester nel 8 agosto 1931, ed è un matematico, fisico e cosmologo britannico. È noto per il suo lavoro nel campo della fisica matematica, in particolare per i suoi contributi alla cosmologia; si occupa inoltre di giochi matematici. Laureato all'Università di Cambridge, è professore emerito all'Istituto di matematica dell'Università di Oxford e nel 1988 ha ricevuto, assieme a Stephen Hawking, il Premio Wolf per la fisica. Nel 2020 gli viene assegnato il Premio Nobel per la fisica per aver fatto importanti scoperte sulla formazione dei buchi neri.

Noi adibiremo una stanza a tema Penrose il giorno del Pi greco day, che quest’anno sarà a tema “Matematica, arte e creatività”, ma Roger Penrose che attinenza ha con l’arte? Egli è noto per le sue tassellature matematiche, basate sulle sezioni auree. Le due tassellature più importanti sono:

Esse sono particolari perché, poiché i tasselli usati sono basati su dei triangoli aurei,  si possono ripetere all’infinito, pur essendo aperiodiche (ovvero non periodiche); sono state trovate strutture simili anche nei “quasi cristalli”, ovvero dei cristalli quasi periodici, come le tassellature di Penrose.

Nonostante queste tassellature siano state create con calcoli matematici, esse sono opere d’arte, e questo è un esempio di come la matematica si trova dovunque.

Forza, venite a festeggiare con noi il Pi day alla Zirilli!

Laboratorio di making: Solidi Platonici

 I solidi platonici: sono un gruppo di figure tridimensionali che sono state studiate fin dall’antichità soprattutto dal filosofo matematico greco Platone da cui prendono il nome.
Questi solidi sono molto interessanti perché possiedono delle caratteristiche geometriche uniche che li rendono perfetti e simmetrici.
Cosa sono i solidi platonici ?? 
I solidi platonici sono solidi regolari, ognuno dei quali ha facce e angoli congruenti. La loro particolarità sta nel fatto che sono gli unici solidi di cui tutte le facce sono poligoni regolari. Proprio Platone trovò che esistono solo 5 solidi con queste caratteristiche:

ESAEDRO (CUBO)

facce: 6 quadrati 

spigoli: 12

vertici: 8

TETRAEDRO 

facce: 4 triangoli equilateri

spigoli:6

vertici: 4

OTTAEDRO 

facce: 8 triangoli equilateri 

spigoli:12

vertici:6 

ICOSAEDRO

facce:20 triangoli equilateri 

spigoli:30 

vertici:12 

DODECAEDRO

facce: 12 pentagoni regolari 

spigoli: 30

vertici: 20

Avete notato? La somma del numero di facce e vertici è sempre uguale al numero di spigoli+2. Questa relazione è nota come formula di Eulero e non è valida solo per i solidi platonici… fate la prova con qualunque altro solido!

Ma torniamo a Platone.. così scrive nel Timeo:

"Iddio, pose Acqua e Aria in mezzo a Fuoco e Terra, e li proporzionò fra loro il più possibile; in modo che il Fuoco fosse rivolto verso l'aria, l'Aria fosse rivolta verso l'Acqua e l'Acqua fosse rivolta verso la Terra. Infine collegò la Terra al Fuoco e compose un corpo visibile e palpabile"

Nel "Timeo" di Platone, Socrate e Timeo dialogano sull'origine dell'Universo e della materia. In quest'opera si trova la descrizione dei quattro elementi Fuoco, Terra, Aria e Acqua che vengono associati al tetraedro, l'ottaedro, il cubo e l'icosaedro. Il dodecaedro veniva invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza. 

Ciò ci fa capire come ai tempi di Platone, la matematica non era vista come la intendiamo oggi, con numeri e formule per fare calcoli pratici. Era parte della filosofia, cioè un modo per capire la realtà e cercare la verità sulle cose.

Platone pensava che i numeri e le forme geometriche non fossero solo strumenti per contare, ma idee perfette che esistevano in un mondo al di sopra di quello che possiamo toccare. Questo mondo perfetto lo chiamava mondo delle Idee o mondo delle Forme.

Nel Timeo, Platone diceva che Dio (il Demiurgo) aveva creato l’universo usando la matematica, proprio come un artigiano usa il righello e il compasso per costruire qualcosa di bello e armonioso. Per lui, studiare la matematica significava avvicinarsi alla verità e alla perfezione.

Ragazzi, cosa dire? Fantastico!

Volete vedere i 5 solidi platonici realizzati in legno con la LaserCut della nostra scuola dal prof Leone e un gruppo di ragazzi?

Vi aspettiamo giorno 14!